【等比数列常用公式是什么】等比数列是数学中常见的数列类型,广泛应用于数学、物理、经济等领域。理解其常用公式对于解决相关问题非常重要。以下是对等比数列常用公式的总结,并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
在等比数列中,每一项与前一项的比值是一个常数,称为公比(记作 $ q $)。若首项为 $ a_1 $,则第 $ n $ 项可表示为:
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
二、常用公式总结
公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
第 $ n $ 项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 已知首项 $ a_1 $ 和公比 $ q $,求第 $ n $ 项的值。 | ||
前 $ n $ 项和公式 | 当 $ q \neq 1 $ 时,$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ | 求等比数列前 $ n $ 项的和。当 $ q = 1 $ 时,$ S_n = a_1 \cdot n $。 | ||
无穷等比数列和 | 当 $ | q | < 1 $ 时,$ S = \frac{a_1}{1 - q} $ | 若公比绝对值小于1,无穷等比数列的和存在,且为有限值。 |
公比公式 | $ q = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $ | 可用于判断一个数列是否为等比数列,或求出未知的公比。 |
三、使用示例
例如:已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $,公比 $ q = 3 $,求:
- 第5项:
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
- 前5项和:
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
四、注意事项
- 公比 $ q $ 不能为0,否则数列将失去“等比”的意义。
- 当 $ q = 1 $ 时,所有项都相等,此时数列为常数列。
- 若 $
通过掌握这些常用公式,可以更高效地处理等比数列的相关问题,适用于考试复习、作业解答以及实际应用中的计算。
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